[논리와 회로설계] 전개와 인수분해

이 글과 시리즈는 대학 수업의 Fundamentals of Login Design을 참고해 작성하였습니다.

식의 전개와 인수분해

곱의 합(Sum of Product)을 얻기 위해 분배법칙을 써서 식을 전개해라

$X(Y+Z)$

$X(Y+Z)=XY+YZ$

 

$(X+Y)(X+Z)$

$(X+Y)(X+Z)=XX+XZ+XY+YZ=X+XZ+XY+(1\cdot YZ)$

$=X(1+Z+Y)+YZ$

$=X+YZ$

 

Example

$(A+B+C^{\prime })(A+B+D)(A+B+E)(A+D^{\prime }+E)(A^{\prime }+C)$

$=(A+B+C^{\prime }D)(A+B+E)(A{A}^{\prime }+AC+A^{\prime }{D}^{\prime }+C{D}^{\prime }+A^{\prime }E+CE)$

$=(A+B+C^{\prime }D)(A+B+E)(AC+A^{\prime }{D}^{\prime }+A^{\prime }E)$

CE 가 1이라면, A+A' 중 아무거나 1이면 되기에 불필요한 항이 된다.

또한 CD'은 이미 앞에 있기에 함께 사라지며, AA'은 항상 0이다.

$=(A+B+C^{\prime }DE)(AC+A^{\prime }{D}^{\prime }+A^{\prime }E)$

$=AC+ABC+A^{\prime }B{D}^{\prime }+A^{\prime }BE+A^{\prime }{C}^{\prime }DE$

$=AC(1+B)+A^{\prime }B{D}^{\prime }+A^{\prime }BE+A^{\prime }{C}^{\prime }DE$

$=AC+A^{\prime }B{D}^{\prime }+A^{\prime }BE+A^{\prime }{C}^{\prime }DE$

 

합의 곱(Product of Sum)을 얻기 위해, 분배법칙을 써서 인수분해해라.

Example

$AC+A^{\prime }B{D}^{\prime }+A^{\prime }BE+A^{\prime }{C}^{\prime }DE$

$=AC+A^{\prime }(B{D}^{\prime }+BE+C^{\prime }DE)$

$=(A+B{D}^{\prime }+BE+C^{\prime }DE)(A^{\prime }+C)=[A+C^{\prime }DE+B(D^{\prime }+E)](A^{\prime }+C)$

\(=(A+B+C'DE)(A+C'DE+D'+E)(A'+C)\) //?

$=(A+B+C^{\prime })(A+B+D)(A+B+E)(A+D^{\prime }+E)(A^{\prime }+C)$

 

 

 

Theorem 정리

Theorem for multiplying out

$(X+Y)(X^{\prime }+Z)=XZ+X^{\prime }Y$

• 진리표 / 대입 형태로 증명 가능 
• $X=0$ 인 경우, $Y=Y$
• $X=1$ 인 경우, $Z=Z$
• $X=0$일때, $X=1$일때 식이 성립하므로, 항상 valid 하다.

Theorem for factoring

$AB+A^{\prime }C=(A+C)(A^{\prime }+B)$

• 진리표 / 대입 형태로 증명 가능
• $A=0$ 인 경우, $C=C$
• $A=1$ 인 경우, $B=B$