[논리와 회로설계] 전개와 인수분해

이 글과 시리즈는 대학 수업의 Fundamentals of Login Design을 참고해 작성하였습니다.

식의 전개와 인수분해

곱의 합(Sum of Product)을 얻기 위해 분배법칙을 써서 식을 전개해라

\(X(Y+Z)\)

\(X(Y+Z) = XY +YZ \)

 

\((X+Y)(X+Z)\)

\((X+Y)(X+Z) = XX+ XZ + XY + YZ = X + XZ + XY + (1 \cdot YZ) \)

\( = X(1+Z+Y) + YZ \)

\( = X + YZ \)

 

Example

\((A+B+C')(A+B+D)(A+B+E)(A+D'+E)(A'+C)\)

\(=(A+B+C'D)(A+B+E)(AA'+AC+A'D'+CD'+A'E+CE)\)

\(=(A+B+C'D)(A+B+E)(AC+A'D'+A'E)\)

CE 가 1이라면, A+A' 중 아무거나 1이면 되기에 불필요한 항이 된다.

또한 CD'은 이미 앞에 있기에 함께 사라지며, AA'은 항상 0이다.

\(=(A+B+C'DE)(AC+A'D'+A'E)\)

\(=AC+ABC+A'BD'+A'BE+A'C'DE\)

\(=AC(1+B)+A'BD'+A'BE+A'C'DE\)

\(=AC+A'BD'+A'BE+A'C'DE\)

 

합의 곱(Product of Sum)을 얻기 위해, 분배법칙을 써서 인수분해해라.

Example

\(AC+A'BD'+A'BE+A'C'DE\)

\(=AC+A'(BD'+BE+C'DE)\)

\(=(A+BD'+BE+C'DE)(A'+C) = [A+C'DE+B(D'+E)](A'+C)\)

\(=(A+B+C'DE)(A+C'DE+D'+E)(A'+C)\) //?

\(=(A+B+C')(A+B+D)(A+B+E)(A+D'+E)(A'+C)\)

 

 

 

Theorem 정리

Theorem for multiplying out

\( (X+Y)(X'+Z) = XZ + X'Y \)

• 진리표 / 대입 형태로 증명 가능 
• \(X=0\) 인 경우, \(Y=Y\)
• \(X=1\) 인 경우, \(Z=Z\)
• \(X=0\)일때, \(X=1\)일때 식이 성립하므로, 항상 valid 하다.

Theorem for factoring

\( AB+A'C = (A+C)(A'+B) \)

• 진리표 / 대입 형태로 증명 가능
• \(A=0\) 인 경우, \(C=C\)
• \(A=1\) 인 경우, \(B=B\)